4. Filtre de Buys Ballot.

Nous étudions ici la série 2 du chapitre 8 par le filtre de Buys Ballot (fichier de paramètres chro2.par). On pourra utiliser un tableur pour effectuer les calculs.

1) On obtient les résultats suivants :

t	Moyennes annuelles mi.	produits par l'année i mi.
2.5	231.96	579.9
6.5	280.47	1823.055
10.5	343.18	3603.39
14.5	412.76	5985.02
18.5	502.47	9295.695
22.5	614.94	13836.15

On en déduit :

moyenne des t	moyenne des moyennes annuelles	moyenne des produits
mt = 12.5	m = 397.63	mt.xt = 5853.868

On en déduit la différence moyenne des produits – produit des moyennes :

5853.868 – 12.5 x 397.63 = 883.493

On calcule le coefficient directeur de la droite par la formule habituelle :

variances des t	des mi.
46.667	17096.97

La droite de régression sur les moyennes annuelles par le temps, la moyenne de l’année 1 étant fixée à l’instant t = 2.5, de l’année 2 à l’instant t = 6.5 etc. a pour coefficient directeur b et pour coefficient constant a:

b = 883.493 / 46.667	=	18.93
a = 397.63 – 18.93 x 12.5	=	161.005

2) On calcule la tendance définie par cette droite en chaque point de t = 1 à t = 24,

	1	2	3	4
1	179.912	198.844	217.776	236.708
2	255.64	274.572	293.504	312.436
3	331.368	350.3	369.232	388.164
4	407.096	426.028	444.96	463.892
5	482.824	501.756	520.688	539.62
6	558.552	577.484	596.416	615.348

Tendance estimée par la droite de régression
calculée sur les moyennes annuelles

On suit ensuite la procédure pour calculer les coefficients saisonniers : on calcule la différence entre chaque observation et la tendance correspondante :

	1	2	3	4
1	44.458	54.437	-16.534	12.233
2	18.740	25.592	-44.600	-13.997
3	0.598	21.103	-65.801	-22.261
4	-0.463	11.969	-83.383	-19.047
5	5.593	34.771	-85.118	9.7414
6	39.450	81.806	-63.200	53.920

Différences entre chaque observation et la tendance correspondante

On calcule ensuite la moyenne des différences pour chaque colonne :

1	2	3	4
18.063	38.280	–59.773	3.432

La moyenne des coefficients saisonniers est égale à 0.0003. On obtient donc les coefficients saisonniers centrés à 10^-3 près.

L’équation finale du modèle est donc la suivante :

x_t = 18.93 x t + 161.005 + s_t

avec

t = 4 k + 1	t = 4 k + 2	t = 4 k + 3	t = 4 k
st = 18.06	st = 38.28	st = –59.77	st = 3.43

On pourra vérifier à l’aide d’un logiciel que cette méthode donne les mêmes résultats que le filtre de Buys Ballot.

3) On donne ci-desous le tableau complet des résidus :

	1^er trimestre	2^e trimestre	3^e trimestre	4^e trimestre
Année 1	26.39756	16.15911	43.24036	8.80333
Année 2	0.67862	–12.68653	15.17342	–17.42781
Année3	-17.46451	-17.17606	–6.02771	–25.69215
Année 4	–18.52625	–26.31120	-23.61025	–22.47899
Année 5	–12.47089	–3.50974	–25.34649	6.30908
Année 6	21.38547	43.52442	–3.42933	50.48654

Résidus obtenus après ajustement de la série 2
par le filtre de Buys Ballot

Pour calculer le résidu du 2^e trimestre de la 3^e année (i = 3 et j = 2), on calcule x_3,2’ :

x3,2’	= 18.93216 [ (3-1) 4 + 2 ] + 160.9782 + 38.27946
	= 189.3216 + 160.9782 + 38.2795
	= 388.5793

On a alors :

e_{3, 2} = x_3,2 - x_3,2’ = 371.4032 - 388.5793 = - 17.1761

On vérifie sans difficulté que la moyenne des résidus de chaque trimestre est nulle, et donc la moyenne totale.La variance des résidus est la moyenne de leurs carrés :

s² = 531.5705

4) La variance totale des observations x_t est égale à

s_x² = 18378.38

On connaît la relation :

s² = (1 – r²) s_x²

On en déduit :

s² / s_x² = 1 – r²

r² = 1 – s² / s_x²

On trouve finalement le coefficient de corrélation (dont on sait qu’il est positif)  :

r = 0.985

Ce coefficient de corrélation est très proche de 1, et on pourrait en déduire que l’ajustement par le filtre de Buys Ballot est satisfaisant.

5) L’histogramme des résidus montre de façon évidente que’ils ne sont pas répartis suivant la loi normale :

Histogramme des résidus
(filtre de Buys Ballot)

6) Les moyennes annuelles des résidus sont les sommes des lignes du tableau :

année 1	année 2	année 3	année 4	année 5	année 6
94.60036	-14.2623	–66.36043	–90.92669	–35.01804	111.9671

Représentation graphique simultanée des moyennes annuelles des observations
et des moyennes annuelles des résidus

On pourra vérifier que la somme des résidus annuels est nulle. Le coefficient de corrélation avec le temps t est aussi égal à 0. La représentation graphique montre l’existence d’une liaison non linéaire, et le modèle n’est pas adapté aux données.

7) Les prévisions sont obtenues en appliquant la formule donnée par le filtre de Buys Ballot :

	1^e trimestre	2^e trimestre	3^e trimestre	4^e trimestre
année 7	652.345	691.494	612.374	694.509

Le degré de confiance qu’on peut leur accorder est quasiment nul.